TERCERA SEMANA

DERIVADAS PARCIALES

Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:

Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función: 

     

Para ello recordemos que la derivada de la función  z = e^u  es:   z’ = u’ . e^u, siendo u en nuestro caso: x2 + y2 , entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la y constante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la x constante). Así tenemos:

Fundamentos Teóricos

·         Interpretación geométrica de las derivadas parciales

·         Interpretación física de las derivadas parciales

Desarrollo

Primeramente se definió la derivada parcial como la pendiente de la recta tangente cuando delta "y" tiende a cero entonces su límite es igual a la derivada de la función "z" respecto a la derivada de "Y". Más tarde se detalló la interpretación física que tiene la derivada parcial de lo que podemos concluir que (df/dx) representa la razón de cambio de f cuando "x" se incrementa, manteniéndose "y" fijo. Y que (df/dy) representa la razón de cambio de f cuando "y" se incrementa, manteniéndose "x" fijo. Para tener claro este concepto realizamos dos ejercicios el primero referido a la pendiente de una recta (interpretación geométrica) y el segundo referido a una interpretación física.

Interpretación Geométrica de las Derivadas Parciales

Interpretación Física de las Derivadas Parciales

 Si Y= f(x), entonces: f´ (x) = dy/dx de "y" cuando "x" cambia. Representa la razón de cambio.

·        (df/dx) representa la razón de cambio de f cuando "x" se incrementa, manteniéndose "y" fijo

·        (df/dy) representa la razón de cambio de f cuando "y" se incrementa, manteniéndose "x" fijo.

Fundamentos Teóricos

·        Derivadas parciales de funciones compuestas

·        Derivadas de Orden Superior

Desarrollo

Para comprender las derivadas parciales de funciones compuestas nuestra ingeniera primero nos recordó la regla de la cadena para derivar. Luego nos indicó como calcular una derivada parcial de funciones compuestas en R3 y en R4. Para ello también nos supo explicar que es una variable independiente, variables aparentes y la variable dependiente que es la que queremos calcular en función de las otras dos. Se realizaron cinco ejercicios en los 4 primero solo utilizamos los conceptos para encontrar esta derivada parcial mientras que en el último ejemplo también aplicamos una interpretación física para poder resolver el ejercicio. Visto este tema también alcanzamos a ver las derivadas de orden superior en R2 y en R3. Pudimos darnos cuenta de que existen derivadas parciales de orden 2  a la n. Finalmente se resolvió un ejemplo de estas para observar su resolución.

Derivadas Parciales de Funciones Compuestas

Sea una función de n variables,  z = f(u, v, ...), a su vez, supongamos que esas variables dependen de otras m variables u=u(x,y...), v=v(x,y,..)... .

Es decir, tengamos:

De una manera simbólica expresaremos esta dependencia lineal entre las variables así:

En última instancia la función  z depende de las x, y,... . Vamos a expresar las derivadas de la función z con respecto a esas variables, que siguen la misma pauta multiplicativa de las funciones de una variable:

Para establecer estas derivadas nosotros debemos guiarnos por el esquema de la dependencia lineal. 

Derivadas de Orden Superior

Sea una función de dos variables z = f(x, y). En principio tenemos cuatro (22) derivadas de segundo orden:

(Se debe leer  "derivada segunda de z respecto de x dos veces", "derivada segunda de z respecto de x-y", etc.)

Estas derivadas vienen definidas de la siguiente manera:

Incrementos Totales y Parciales de Funciones de Varias Variables

DERIVADA DIRECCIONAL Y VECTOR GRADIENTE

Se llaman derivadas direccional de la función z = f(x,y) en un punto P(x,y) en el sentido del vector   el siguiente límite si existe y es finito:

(Las parciales habrá que calcularlas en el punto correspondiente. Las componentes del vector unitario coinciden con los cosenos directores del vector director. Si la función no es diferenciable esta fórmula no es válida y hay que calcular el límite anterior).

Se llama gradiente de una función z = f(x, y) en un punto P(x, y) al vector que sale del punto P y sus componentes son las derivadas parciales de la función en dicho punto

La derivada direccional se puede obtener como el producto escalar del gradiente por el vector unitario (si la función es diferenciable)

El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide con su módulo:

Si la función es de tres variables u = f(x, y, z) el gradiente se define de forma análoga:

INTEGRALES MÚLTIPLES

Una integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo, f(x,y) ó f(x,y,z).

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación Xn+1 = f(x1,…….,xn)  y una región T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función f (si T es una región cerrada y acotada y f está definida en ésta).

Integrales múltiples e Integrales iteradas

Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple. Si la expresión 

 se refiere a una integral iterada, la parte externa

 es la integral con respecto a x de la función de x:

Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es dydx ó dxdy, y por lo general uno la calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene:

De una manera más formal, el Teorema de Fubini afirma que

Esto es, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral doble es igual a la integral iterada.

Métodos de integración

Funciones constantes.

En el caso de funciones constantes, el resultado es trivial: simplemente multiplíquese el valor de la función constante c por la medida del dominio de integración. Si c = 1, y es integrada a través de una región de R^2 esto da el área de la región, mientras que si es una región de R^3 da el volumen de la región y así sucesivamente.

Por ejemplo:

 y 

Integrando f sobre D:

Cambio de variables

A menudo, es útil para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable por otra que resulte más cómoda, sin embargo esto exige el cambio de la región de integración, además de añadir un factor de corrección al diferencial conocido como determinante Jacobiano. El cambio de una variable por otra es en un sentido geométrico, una transformación desde un espacio hasta otro, y es esta transformación la que exige estos ajustes.

Si se utiliza una transformación que siga la relación:

Entonces se puede utilizar el Jacobiano de la transformación para simplificar la integral

Integrando la función transformada en el dominio de integración correspondiente a las variables x, y multiplicando por el valor absoluto del determinante Jacobiano y por la serie de diferenciales, se obtiene una integral múltiple que es igual a la integral original, si es que esta existe.

Coordenadas Polares

En un espacio R^2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces susceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación: 

Por ejemplo.

Si la función es

aplicando la transformación se obtiene la función fácilmente 

Se pueden obtener funciones incluso más simples Si la función es:

Uno tiene:

Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.

El determinante Jacobiano de la transformación es:

El cual se obtiene insertando las derivadas parciales de x = ρ cos(θ), y = ρ sin(θ) en la primera columna con respecto a ρ y en la segunda con respecto a  θ.

Por lo tanto, una vez transformada la función, y multiplicada por su determinante Jacobiano, ésta es igual a la integral original:

Coordenadas Esféricas

Cuando existe simetría esférica en un dominio en R^3, es posible utilizar una transformación hacia coordenadas esféricas para simplificar una integral triple. La función es transformada por la relación:

El determinate Jacobiano de la transformación es el siguiente:

Tomando el valor absoluto del determinante se obtiene el factor que se debe añadir a la integral.

Por lo tanto los diferenciales dx dy dz se transforman en ρ^2 sin(φ) dρ dθ dφ.

Finalmente se obtiene la fórmula de integración:

Coordenadas Cilíndricas

El uso de coordenadas cilíndricas para transformar una integral triple, es conveniente especialmente cuando el dominio de integración presenta simetría alrededor del eje z. La función se transforma mediante la siguiente relación.

El determinate Jacobiano de la transformación es el siguiente:

Por lo tanto, se puede derivar la siguiente fórmula de integración: