Triedro Móvil
Vectores Tangente, Normal y Binormal:
Dada una curva parametrizada r(t) según un parámetro
cualquiera t se define el llamado vector tangente, normal y binormal como:
Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre
sí, juntos configuran un sistema de referencia móvil conocido como Triedro de
Frênet-Serret a raíz del estudio de Jean Frenet y Joseph Serret. Es interesante
que para una partícula física desplazándose en el espacio, el vector tangente
es paralelo a la velocidad, mientras que el vector normal da el cambio
dirección por unidad de tiempo de la velocidad o aceleración normal.
Si la curva está parametrizada según la longitud de arco,
como se explicó en la sección anterior las fórmulas anteriores pueden
simplificarse notablemente:
Donde los parámetros χ y τ anteriores designan
respectivamente a la curvatura y a la torsión.
Curvatura de Torsión:
La curvatura es una medida del cambio de dirección del
vector tangente a una curva, cuanto más rápido cambia éste a medida que nos
desplazamos a lo largo de la curva, se dice que es más grande la curvatura.
Para una curva parametrizada cualquiera la curvatura es igual a:
Si la curva está parametrizada por el parámetro de longitud
de arco, la anterior ecuación se reduce simplemente a:
Además de la curvatura se suele definir el llamado radio de
curvatura, como el inverso de la curvatura.
Funciones de Varias Variables
Es una función de n variables con valores reales, en donde x, y serás variables independientes y z será una variable dependiente.
Dominio de funciones de dos variables:
El dominio puede ser sólo una parte del plano denominado región o todo el plano R^2
El análisis del dominio:
1.- Analíticamente
2.- Gráficamente: (en R^2 si se desea pero obligatorio en R^3)
3.- Descriptivamente.
Curvas de Nivel
Se denominan curvas de nivel a las líneas que marcadas sobre
el terreno desarrollan una trayectoria que es horizontal. Por lo tanto podemos
definir que una línea de nivel representa la intersección de una superficie de
nivel con el terreno. En un plano las curvas de nivel se dibujan para
representar intervalos de altura que son equidistantes sobre un plano de
referencia.
Esta diferencia de altura entre curvas recibe la
denominación de “equidistancia”
De la definición de las curvas podemos citar las siguientes
características:
1. Las curvas de nivel no se cruzan entre si.
2. Deben ser líneas cerradas, aunque esto no suceda dentro
de las líneas del dibujo.
3. Cuando se acercan entre si indican un declive mas
pronunciado y viceversa.
4. La dirección de máxima pendiente del terreno queda en el
ángulo recto con la curva de nivel.
Curvas de Nivel más
conocidas:
Isobaras: curvas de nivel en función de la
presión atmosférica
Isotermas: curvas de nivel en función de
la presión y temperatura
Líneas equipotenciales: curvas de nivel de la función potencial
eléctrico.
Líneas topográficas: curvas de nivel de la función altitud con
respecto al mar.
Límite
y continuidad
El estudio de límites y continuidad en
funciones de varias variables, y más adelante el de su diferenciabilidad, se
reduce al estudio de sus funciones componentes. Para calcular límites lo
podemos hacer por componentes, y la continuidad se tiene si y solo si se tiene
continuidad en cada una de las componentes. Por tanto lo más importante es
saber trabajar sobre las funciones componentes que en general son lo que
denominamos campos escalares. Así pues el estudio de los campos escalares es
fundamental.
Funciones de varias variables
Límites en
funciones vectoriales
Continuidad de funciones vectoriales
Definición (límite de un campo escalar):
Definición (Continuidad de campos escalares):
Campos vectoriales
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